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Ducasse d’Ath : du pain et des jeux…

Mathématique constructiviste…

    La dernière réponse au vent d’incertitude qui s’était abattu à la suite des paradoxes logiques, donnant naissance au formalisme, au début du XXème siècle, fut le constructivisme, la version mathématique de la doctrine de l’opérationnalisme. Au départ, selon Léopold Kronecker, l’un de ses fondateurs, il fallait reconnaître que « Dieu a créé les nombres entiers, le reste c’est l’homme qui l’a fait ». Il voulait dire par là que nous ne devrions accepter comme point de départ que les notions mathématiques les plus simples – les nombres entiers 1, 2, 3, 4, … et le calcul – et déduire tout le reste par étapes successives à partir de ces notions intuitivement évidentes. En prenant cette position conservatrice, les constructivistes entendaient éviter de rencontrer et de manier des entités comme les ensembles infinis dont on ne peut avoir aucune expérience concrète et qui possèdent des propriétés qui n’ont rien à voir avec l’intuition (l’infini moins l’infini peut encore être égal à l’infini, par exemple, comme on le voit en soustrayant tous les nombres pairs aux nombres naturels : il reste encore tous les nombres impairs). C’est la raison pour laquelle on appelle aussi intuitionnisme le constructivisme, pour souligner qu’il repose sur le principe de base qu’est l’intuition chez l’être humain.
    Pour les constructivistes, les mathématiques ne sont qu’une série de propositions pouvant être élaborées suivant un nombre fini d’étapes déductives à partir des nombres naturels. Le « sens » d’une formule mathématique n’est autre que la suite finie des calculs effectués pour la construire. Cette façon de voir les choses peut paraître inoffensive. Elle entraîne en fait des conséquences terribles : elle crée une nouvelle catégorie de propositions mathématiques. Car chaque proposition peut maintenant se voir attribuer trois valeurs : vraie, fausse, ni vraie ni fausse (ou « indécidable »). Une proposition dont la vérité ne peut être déterminée par un nombre fini d’étapes de construction reste dans les limbes. Conséquence majeure d’un tel choix, une proposition n’est plus exclusivement soit vraie soit fausse. Ces trois possibilités nous rappellent les tribunaux écossais qui peuvent rendre un verdict de culpabilité, d’acquittement ou « d’absolution pour manque de preuves » (dans ce cas, l’accusé peut-être à nouveau jugé pour le même délit), alors que les tribunaux anglais ou américains ne peuvent que le déclare « coupable » ou « non coupable ».
    Les mathématiciens pré-constructivistes avaient trouvé différentes manières de démontrer la vérité de formules ne répondant pas au critère du nombre fini d’étapes d’élaboration. La méthode de prédilection des Grecs, durant l’Antiquité, était la reductio ad absurdum (le raisonnement par l’absurde). Pour démontrer que quelque chose est faux, supposons le contraire au départ, disons que c’est vrai, et à partir de cette hypothèse, on aboutira à un résultat absurde (2 = 1, par exemple), ce qui prouvera que l’hypothèse de départ était bien fausse. Cette méthode s’appuie sur l’acceptation de l’idée qu’une vérité ne peut être que vraie ou fausse. Mais selon les règles constructivistes, il ne s’agit pas d’une démarche valable puisqu’une proposition n’est tenue pour vraie que si elle peut être démontrée de façon explicite suivant un nombre fini d’étapes déductives. L’ensemble des théorèmes mathématiques qui prouvent l’existence de quelque chose, sans pour autant en élaborer un exemple explicite, ne sont donc pas tenus pour valables.
    […]
    Après mûre réflexion, le constructivisme semble décidément bien étrange. […] l’idée selon laquelle il existerait une « intuition » universelle des nombres naturels n’a aucun fondement historique. Un constructiviste ne sera jamais en mesure de dire si mon intuition est identique à la vôtre, si elle a évolué chez l’être humain et évoluera encore à l’avenir. Ces mathématiques fondées sur l’intuition sont un phénomène récurrent qui varie selon l’époque et la personnalité de leurs artisans. On dirait une branche de la psychologie. Pourquoi partir des nombres naturels ? Qu’est ce qu’une étape de construction ? Pourquoi certaines constructions se révèlent-elles plus utiles et plus adaptées au monde réel que d’autres ? Pourquoi ne pourrions-nous pas avoir d’intuition sur diverses formes de l’infini ? Comment expliquer l’utilité de concepts non constructifs dans l’étude du monde physique ? Après tout, l’intuition humaine a pourtant conçu les ensembles infinis.

John D. BARROW, Pourquoi le monde est-il mathématique ?, Éditions Odile Jacob, Paris, 1996, pages 80 à 84.

Léopold Kronecker (7 décembre 1823 - 29 décembre 1891)

Léopold KRONECKER
(07-12-1823 - 29-12-1891)

jeudi 13 août 2009 - Posted by | essais, Mathématiques | , , , ,

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