Transmission de messages codés…

    De tels codes utilisent des opérations appelées fonctions-pièges, qu’il est extrêmement facile d’utiliser dans un sens mais quasiment impossible d’intervertir, de même qu’il est très facile de tomber dans un piège mais pas si facile que cela d’en sortir. Prenons, par exemple, deux nombres premiers très grands, dont chacun est composé d’une centaine de chiffres, et multiplions-les. Un ordinateur peut effectuer l’opération en une seconde. Mais donnez à un ordinateur, quel que soit le résultat, ce nombre de deux cents chiffres, et demandez-lui de trouver les deux nombres premiers qui le divisent : il a de quoi travailler une vie entière. Cet exemple montre bien que l’Univers pourrait être soumis à un code mathématique, dont le codage dépendrait des lois de la Nature. On pourrait même découvrir le code, sans doute, à l’aide de ces seuls principes que sont symétrie, cohérence et simplicité, mais nous serions en peine, pratiquement, de l’appliquer en sens inverse pour déchiffrer la vraie nature des choses à partir de leur apparence codée.
    Voici une illustration des fonctions-pièges. L’exemple est simple comme bonjour. Je veux vous envoyer un message secret. Pour le « coder », j’utilise une méthode plutôt grossière. Je mets le message dans une boîte métallique fermée avec un cadenas. Le « décoder » revient à ouvrir le cadenas. Mais comment vais-je faire pour vous adresser le message sans vous envoyer la clef, qui risquerait de tomber entre les mains d’un individu malintentionné prêt à voler ? A priori, cela paraît impossible. Et pourtant. Je vais fermer la boîte avec le cadenas et vous l’envoyer, en gardant la clef. Vous allez y mettre un autre cadenas, le fermer, conserver votre clef et me renvoyer la boîte avec les deux cadenas. À ce moment-là, je vais ôter mon cadenas avec ma clef et vous retourner la boîte. Vous pourrez alors ouvrir votre cadenas avec votre clef et prendre, enfin, le message. Aucun de nous deux n’aura besoin de la clef de l’autre !
    Dans la vie courante on utilise les codes chiffrés que les clefs de cadenas. Comment procède-t-on ? Vous codez votre message avec un nombre N composé d’une ribambelle de chiffres, et le multipliez par votre nombre premier secret à plusieurs chiffres p. vous obtenez N·p. Vous me transmettez N·p, que je multiplie par mon nombre premier secret q, qui donne le résultat N·p·q. Si je vous renvoie N·p·q, vous pourrez le diviser par p pour obtenir N·q que vous me renverrez. Moi, je le diviserai par q, et j’obtiendrai N, qui est le message. Moi je n’ai besoin à aucun moment de connaître p et vous, vous n’avez besoin à aucun moment de connaître q. Et admettons que quelqu’un intercepte les nombres que nous nous transmettons au fur et à mesure. Il aura sous les yeux un nombre composé de plusieurs chiffres, dont il devra trouver les diviseurs de départ. Bon courage, ça pourra prendre quelques dizaines ou centaines d’années ! Pour parer à toute éventualité, de temps en temps nous changerons nos nombres p et q. L’idée est toute simple. Et géniale. On l’utilise que depuis une vingtaine d’années.

John D. BARROW, Pourquoi le monde est-il mathématique ?, Éditions Odile Jacob, Paris, 1996, pages 88 à 90.

Mathématique constructiviste…

    La dernière réponse au vent d’incertitude qui s’était abattu à la suite des paradoxes logiques, donnant naissance au formalisme, au début du XX^ème siècle, fut le constructivisme, la version mathématique de la doctrine de l’opérationnalisme. Au départ, selon Léopold Kronecker, l’un de ses fondateurs, il fallait reconnaître que « Dieu a créé les nombres entiers, le reste c’est l’homme qui l’a fait ». Il voulait dire par là que nous ne devrions accepter comme point de départ que les notions mathématiques les plus simples – les nombres entiers 1, 2, 3, 4, … et le calcul – et déduire tout le reste par étapes successives à partir de ces notions intuitivement évidentes. En prenant cette position conservatrice, les constructivistes entendaient éviter de rencontrer et de manier des entités comme les ensembles infinis dont on ne peut avoir aucune expérience concrète et qui possèdent des propriétés qui n’ont rien à voir avec l’intuition (l’infini moins l’infini peut encore être égal à l’infini, par exemple, comme on le voit en soustrayant tous les nombres pairs aux nombres naturels : il reste encore tous les nombres impairs). C’est la raison pour laquelle on appelle aussi intuitionnisme le constructivisme, pour souligner qu’il repose sur le principe de base qu’est l’intuition chez l’être humain.
    Pour les constructivistes, les mathématiques ne sont qu’une série de propositions pouvant être élaborées suivant un nombre fini d’étapes déductives à partir des nombres naturels. Le « sens » d’une formule mathématique n’est autre que la suite finie des calculs effectués pour la construire. Cette façon de voir les choses peut paraître inoffensive. Elle entraîne en fait des conséquences terribles : elle crée une nouvelle catégorie de propositions mathématiques. Car chaque proposition peut maintenant se voir attribuer trois valeurs : vraie, fausse, ni vraie ni fausse (ou « indécidable »). Une proposition dont la vérité ne peut être déterminée par un nombre fini d’étapes de construction reste dans les limbes. Conséquence majeure d’un tel choix, une proposition n’est plus exclusivement soit vraie soit fausse. Ces trois possibilités nous rappellent les tribunaux écossais qui peuvent rendre un verdict de culpabilité, d’acquittement ou « d’absolution pour manque de preuves » (dans ce cas, l’accusé peut-être à nouveau jugé pour le même délit), alors que les tribunaux anglais ou américains ne peuvent que le déclare « coupable » ou « non coupable ».
    Les mathématiciens pré-constructivistes avaient trouvé différentes manières de démontrer la vérité de formules ne répondant pas au critère du nombre fini d’étapes d’élaboration. La méthode de prédilection des Grecs, durant l’Antiquité, était la reductio ad absurdum (le raisonnement par l’absurde). Pour démontrer que quelque chose est faux, supposons le contraire au départ, disons que c’est vrai, et à partir de cette hypothèse, on aboutira à un résultat absurde (2 = 1, par exemple), ce qui prouvera que l’hypothèse de départ était bien fausse. Cette méthode s’appuie sur l’acceptation de l’idée qu’une vérité ne peut être que vraie ou fausse. Mais selon les règles constructivistes, il ne s’agit pas d’une démarche valable puisqu’une proposition n’est tenue pour vraie que si elle peut être démontrée de façon explicite suivant un nombre fini d’étapes déductives. L’ensemble des théorèmes mathématiques qui prouvent l’existence de quelque chose, sans pour autant en élaborer un exemple explicite, ne sont donc pas tenus pour valables.
    […]
    Après mûre réflexion, le constructivisme semble décidément bien étrange. […] l’idée selon laquelle il existerait une « intuition » universelle des nombres naturels n’a aucun fondement historique. Un constructiviste ne sera jamais en mesure de dire si mon intuition est identique à la vôtre, si elle a évolué chez l’être humain et évoluera encore à l’avenir. Ces mathématiques fondées sur l’intuition sont un phénomène récurrent qui varie selon l’époque et la personnalité de leurs artisans. On dirait une branche de la psychologie. Pourquoi partir des nombres naturels ? Qu’est ce qu’une étape de construction ? Pourquoi certaines constructions se révèlent-elles plus utiles et plus adaptées au monde réel que d’autres ? Pourquoi ne pourrions-nous pas avoir d’intuition sur diverses formes de l’infini ? Comment expliquer l’utilité de concepts non constructifs dans l’étude du monde physique ? Après tout, l’intuition humaine a pourtant conçu les ensembles infinis.

John D. BARROW, Pourquoi le monde est-il mathématique ?, Éditions Odile Jacob, Paris, 1996, pages 80 à 84.

Léopold KRONECKER
(07-12-1823 - 29-12-1891)

Dieu est un mathématicien !

    La façon plus simple de voir les mathématiques est de soutenir que le monde est, au sens profond, mathématique. Les abstractions mathématiques existent bel et bien. Les mathématiciens les découvrent, ils ne les inventent pas. Le nombre « Pi » existe réellement dans le ciel. Avec ou sans les mathématiciens, les mathématiques existent. C’est un langage universel que l’on pourrait utiliser pour communiquer avec des habitants d’autres planètes dont l’évolution serait tout à fait indépendante de la nôtre (il est intéressant de noter que cette idée semble être implicitement admise par tous ceux qui se consacrent à la « recherche de l’intelligence extra-terrestre » et bombardent l’espace de messages mathématiques et d’informations sur le genre humain). Pour le réaliste, le nombre 7 est une idéalité, une idée immatérielle qui se concrétise que dans des cas précis comme les sept nains, les sept épouses ou les sept frères. Cette façon de voir les choses, on l’appelle parfois le platonisme mathématique, parce qu’il défend l’idée de l’existence d’un autre monde fait de formes mathématiques parfaites constituant les matrices d’où découle notre expérience imparfaite. De plus, il considère que notre élaboration mentale des données sensorielles n’aurait aucune conséquence sur la nature mathématique de la réalité. Des opinions de ce genre semblent impliquer que Dieu serait un mathématicien. Et, de fait, si tout l’Univers matériel peut être décrit par les mathématiques (comme le suppose la cosmologie moderne), il doit exister une logique immatérielle plus vaste que cet Univers matériel.

John D. BARROW, Pourquoi le monde est-il mathématique ?, Éditions Odile Jacob, Paris, 1996, pages 76 et 77.

Les « mathématiques modernes »

    Les spécialistes des mathématiques appliquées affichent souvent une certaine hostilité à l’égard de la philosophie bourbachique. Ils ont l’impression qu’elle sépare la pratique des mathématiques des problèmes physiques et du monde des choses réelles qui font naître les idées nouvelles. Le projet Bourbaki a malgré tout exercé une grande influence : dans les années soixante et soixante-dix, par exemple, il était parvenu à faire adopter de nouveaux programmes – les « mathématiques modernes » – destinés à rénover l’enseignement des mathématiques dans les lycées de nombreux pays. Son approche s’écartait franchement du modèle traditionnel qui mettait surtout l’accent sur le maniement et la solution des problèmes. La bonne vieille arithmétique, la géométrie, le calcul, les taux d’intérêt, les logarithmes étaient mis au placard pour laisser la place aux ensembles, aux groupes et autres figures mathématiques abstraites. Avec le recul, l’expérience ne s’est pas révélée convaincante. L’enseignement actuel semble être revenu à une approche moins abstraite. Les « mathématiques modernes » ne plaisaient pas aux parents. Ils se sentaient frustrés de voir leurs enfants incapables de comprendre le b.a.-ba des mathématiques traditionnelles. Ajoutons qu’ils ne comprenaient pas eux-mêmes ce qu’on enseignait à leurs chères têtes blondes et qu’ils étaient bien démunis pour les aider en cas de difficultés.

John D. BARROW, Pourquoi le monde est-il mathématique ?, Éditions Odile Jacob, Paris, 1996, pages 73 et 74.

Nicolas BOURBAKI, Théorie des ensembles (premier tome des Éléments de mathématiques), Éditions Herman, Paris, 1970

Le système vicésimal

    Le système à base dix voit en 70 « sept fois 10 » alors que le système à base vingt le considère comme « trois fois vingt plus dix ». On retrouve cet usage en vieil anglais. Dans la Bible anglicane – publiée en 1611 et dédiée au roi Jacques I^er –, pour parler de la durée de vie moyenne d’un être humain, par exemple, on utilise l’expression three-score years and ten – trois fois vingt ans plus dix –. Le mot anglais score veut dire plusieurs choses à la fois. C’est très intéressant. Il signifie, entre autres, « vingt », comme dans le texte biblique, mais aussi « compter », comme compter les points dans une partie de tennis, ainsi que « tracer un repère » sur quelque chose. Ces trois sens sont liés : ils renvoient à l’ancienne coutume de garder une trace des quantités – « par vingt » – en faisant des encoches sur un bâton de bois, coutume que l’on appelait scoring – la « taille » –.
    La langue française conserve elle aussi des traces de la numération vicésimale : 80, c’est, littéralement, « quatre fois vingt ». À Paris il existe encore un hôpital fondé par Saint Louis pour trois cent aveugles qui s’appelle l’Hôpital des Quinze-Vingts, c’est-à-dite « hôpital des vingt fois quinze ». Notez qu’en latin et en français il n’y a aucun lien entre les mots signifiant « vingt » – viginti et vingt – et ceux signifiant « deux » ou « dix » – duo et decim, deux et dix –.

John D. BARROW, Pourquoi le monde est-il mathématique ?, Éditions Odile Jacob, Paris, 1996, pages 39 et 40.

Compter sur les doigts…

    Se servir des doigts pour compter est un phénomène assez répandu, mais il présente de subtiles variations qui en font un objet d’étude très intéressant quand on recherche à savoir comment il s’est transmis d’une culture à l’autre. La méthode la plus courante – que nous avons conservée jusqu’à nos jours en Occident – consiste à partir de la main gauche fermée et à l’ouvrir, un doigt à la fois en commençant par le pouce, puis à passer à l’autre main. Mais ailleurs dans le monde, on procède différemment. Je vais vous raconter l’histoire qui est arrivé à un officier de l’armée anglaise qui se trouvait en Inde pendant la Seconde Guerre mondiale. On lui présenta une jeune femme qui se faisait passer pour une Chinoise mais que lui soupçonnait d’être japonaise. Voulant s’assurer que ses soupçons étaient bien fondés, il lui demanda de compter jusqu’à dix. La jeune femme, surprise, s’exécuta, la main ouverte, en repliant un doigt à la fois. C’était bien une japonaise ! L’officier savait que les Chinois comptent le poing fermé, en dépliant les doigts.

John D. BARROW, Pourquoi le monde est-il mathématique ?, Éditions Odile Jacob, Paris, 1996, page 37.